-->

Iklan

8+ Contoh Soal Pertidaksamaan Linear Kuadrat Satu Variabel, Disertai Pembahasan dan Jawabannya!!

Contoh Soal Pertidaksamaan Linear Kuadrat Satu Variabel dan Pembahasan dan Jawabannya
Contoh Soal Pertidaksamaan Linear Kuadrat Satu Variabel dan Pembahasan dan Jawabannya


Contoh Soal Pertidaksamaan Linear Kuadrat Satu Variabel dan Pembahasan dan Jawabannya - Dalam beberapa perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, suatu masalah kadang-kadang dapat diterjemahkan dalam model matematika yang berbentuk pertidaksamaan satu variabel. Pertidaksamaan satu variabel yang diperoleh dapat berbentuk:

■ Pertidaksamaan linear

■ Pertidaksamaan kuadrat

■ Pertidaksamaan irasional

■ Pertidaksamaan nilai mutlak

Nah, pada kesempatan kali ini kita hanya akan membahas rancangan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear + kuadrat satu variabel. Untuk itu silahkan kalian simak baik-baik penjelasan berikut ini. Selamat belajar dan semoga bisa paham.


Merancang Model Matematika yang Berbentuk Pertidaksamaan Linear

8+ Contoh Soal Pertidaksamaan Linear atau Kuadrat Satu Variabel, Disertai Pembahasan dan Jawabannya

Jika dalam suatu masalah memuat kata-kata seperti: “kurang dari”, “tidak lebih dari”, “lebih dari”, atau “tidak kurang dari”, maka merupakan indikasi bahwa masalah tersebut berkaitan dengan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan satu variabel. Setelah diketahui bahwa masalahnya merupakan model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel, selanjutnya masalah tersebut dipecahkan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

1. Tentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai variabel pertidaksamaannya.

2. Rumuskan pertidaksamaan yang merupakan model matematika dari masalah.

3. Tentukan penyelesaian dari model matematika.

4. Berikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh.


Untuk memahami bagaimana memecahkan masalah yang berkaitan dengan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel, simaklah ilustrasi berikut ini.

Jumlah dua buah bilangan asli kurang dari 20.

Jika bilangan pertama sama dengan 6, tentukan batas-batas bilangan yang kedua.

 


Dari kalimat “jumlah dua buah bilangan asli kurang dari 20” merupakan indikator bahwa masalah tersebut berkaitan dengan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan satu variabel. Selanjutnya, masalah dipecahkan dengan cara sebagai berikut.

■ Menentukan besaran dalam masalah sebagai variabel x.

Bilangan pertama diketahui sama dengan 6, bilangan kedua dimisalkan sama dengan x.

■ Merumuskan model matematika dari masalah.

Berdasarkan ketentuan dalam soal, diperoleh hubungan atau ekspresi matematika sebagai berikut.

6 + x < 20

■ Menentukan penyelesaian dari model matematika.

Penyelesaian model matematika 6 + x < 20 ditentukan sebagai berikut.

6 + x < 20

⇒ x < 20 – 6

⇒ x < 14

■ Memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh.

x < 14

Jadi, bilangan kedua besarnya tidak boleh melebihi bilangan 14.


Sekarang agar kalian lebih memahami dan terampil dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan model matematika berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel, silahkan kalian simak beberapa contoh soal cerita dan pembahasannya berikut ini.

Soal Cerita 1:

Jumlah dua bilangan tidak kurang dari 100 dan bilangan kedua sama dengan tiga kali bilangan pertama. Tentukan batas-batas nilai dari kedua bilangan itu.

Jawab:

Misalkan bilangan pertama x maka bilangan kedua sama dengan 3x.

Berdasarkan ketentuan yang ada dalam soal, diperoleh model matematika sebagai berikut.

x + 3x ≥ 100

⇒ 4x ≥ 100

Model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel itu diselesaikan sebagai berikut.

4x ≥ 100

⇒ x ≥ 25

Bilangan pertama (x) ≥ 25

Karena bilangan kedua sama dengan tiga kali bilangan pertama maka:

Bilangan kedua (3x) ≥ 75

Jadi, batas-batas nilai bilangan pertama tidak kurang dari 25 dan batas-batas nilai bilangan kedua tidak kurang dari 75.


Soal Cerita 2:

Panjang dan lebar persegi panjang ABCD masing-masing 30 cm dan 20 cm. Bagian tepi-tepi persegi panjang itu dipotong selebar x cm sehingga diperoleh persegi panjang PQRS. Perhatikan gambar di bawah ini. Keliling persegi panjang PQRS tidak lebih dari 52 cm. Tentukan batas-batas panjang pemotongan yang dilakukan.

10 Soal Cerita Pertidaksamaan Linear/Kuadrat Satu Variabel dan Pembahasannya

Jawab:

Perhatikan persegi panjang PQRS pada gambar di atas.

Panjang PQ = (30 – 2x) cm dan lebar QR = (20 – 2x) cm

Keliling persegi panjang PQRS adalah:

K = 2(PQ + QR)

⇒ K = 2[(30 – 2x) + (20 – 2x)]

⇒ K = 2(50 – 4x)

⇒ K = 100 – 8x

Berdasarkan ketentuan pada soal, keliling persegi panjang PQRS tidak lebih dari 52 cm. Dengan demikian diperoleh model matematika sebagai berikut.

K ≤ 52

⇒ 100 – 8x ≤ 52

Kemudian kita selesaikan model pertidaksamaan linier satu variabel tersebut, yaitu sebagai berikut.

100 – 8x ≤ 52

⇒ –8x ≤ 52 – 100

⇒ –8x ≤ –48

⇒ 8x ≥ 48

⇒ x ≥ 6

Selain itu, yang perlu kalian tahu bahwa ukuran suatu besaran (panjang atau lebar) tidak boleh bernilai negatif. Oleh karena itu, ada syarat tambahan bahwa panjang PQ = 30 – 2x ≥ 0 dan lebar QR = 20 – 2x ≥ 0. Lalu kita selesaikan dua pertidaksamaan linear tersebut.

30 – 2x

0



20 – 2x

0

2x

30



2x

20

x

15



x

10


Sampai tahap ini kita memperoleh tiga penyelesaian, yaitu sebagai berikut.

x ≥ 6

x ≤ 15

x ≤ 10

Gabungan dari tiga penyelesaian tersebut memberikan solusi 6 ≤ x ≤ 10.

Dengan demikian, batas-batas panjang pemotongan yang dapat dilakukan adalah 6 cm ≤ x cm ≤ 10 cm.


Soal Cerita 3:

Umur Lisa dan Muri masing-masing (5x – 2) dan (2x + 4). Jika umur Lisa lebih dari umur Muri, maka tentukanlah batas-batas nilai x.

Jawab:

Dari soal terdapat kata “lebih dari” yang berarti kita pergunakan tanda “>”. Dengan ketentuan yang terdapat dalam soal, maka kita peroleh model matematika berikut.

Umur Lisa > umur Muri

⇒ 5x – 2 > 2x + 4

Kemudian kita selesaian bentuk pertidaksamaan linear satu variabel di atas, yaitu sebagai berikut.

5x – 2 > 2x + 4

⇒ 5x – 2x > 4 + 2

⇒ 3x > 6

⇒ x > 2

Jadi, batas-batas nilai x adalah bilangan yang lebih dari 2.


Soal Cerita 4:

Pak Irvan memiliki sebuah mobil box pengangkut barang dengan daya angkut tidak lebih dari 500 kg. Berat pak Irvan adalah 60 kg dan dia akan mengangkut kotak barang yang setiap kotak beratnya 20 kg.

■ Tentukan banyak kotak maksimum yang dapat diangkut oleh pak Irvan dalam sekali pengangkutan!

■ Jika pak Irvan akan mengangkut 115 kota, paling sedikit berapa kali kotak itu akan terangkut semua?

Jawab:

Dari soal kita peroleh beberapa model matematika sebagai berikut:

(a) Misalnya x menyatakan banyak kota yang diangkut oleh mobil untuk sekali jalan.

(b) Setiap kotak beratnya 20 kg, sehingga x kotak beratnya 20x kg.

(c) Total berat sekali jalan adalah berat kotak ditambah berat pak Irvan yaitu 20x + 60.

(d) Daya angkut mobil tidak lebih dari, sehingga kita pergunakan tanda “≤”.

(e) Daya angkut tidak lebih dari 500 kg sehingga dari ketentuan (c) kita peroleh model pertidaksamaan berikut.

20x + 60 ≤ 500


■ Menentukan banyak kotak maksimum yang dapat diangkut dalam sekali jalan.

Menentukan banyak kotak berarti sama saja dengan menentukan nilai x, yaitu dengan menyelesaikan pertidaksamaan berikut.

20x + 60 ≤ 500

⇒ 20x ≤ 500 – 60

⇒ 20x ≤ 440

⇒ x ≤ 22

Dari penyelesaian tersebut, kita peroleh nilai maksimum dari x adalah 22. Dengan demikian, dalam setiap kali jalan mobil box mampu mengangkut paling banyak 22 kotak.


■ Menentukan banyaknya keberangkatan untuk mengangkut 115 kotak


Jika dalam suatu masalah memuat kata-kata seperti: “kurang dari”, “tidak lebih dari”, “lebih dari”, atau “tidak kurang dari”, maka merupakan indikasi bahwa masalah tersebut berkaitan dengan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan satu variabel. Setelah diketahui bahwa masalahnya merupakan model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel, selanjutnya masalah tersebut dipecahkan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

1. Tentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai variabel pertidaksamaannya.


 

2. Rumuskan pertidaksamaan yang merupakan model matematika dari masalah.

3. Tentukan penyelesaian dari model matematika.

4. Berikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh.


Untuk memahami bagaimana memecahkan masalah yang berkaitan dengan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel, simaklah ilustrasi berikut ini.

Jumlah dua buah bilangan asli kurang dari 20.

Jika bilangan pertama sama dengan 6, tentukan batas-batas bilangan yang kedua.

 


Dari kalimat “jumlah dua buah bilangan asli kurang dari 20” merupakan indikator bahwa masalah tersebut berkaitan dengan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan satu variabel. Selanjutnya, masalah dipecahkan dengan cara sebagai berikut.

■ Menentukan besaran dalam masalah sebagai variabel x.

Bilangan pertama diketahui sama dengan 6, bilangan kedua dimisalkan sama dengan x.

■ Merumuskan model matematika dari masalah.

Berdasarkan ketentuan dalam soal, diperoleh hubungan atau ekspresi matematika sebagai berikut.

6 + x < 20

■ Menentukan penyelesaian dari model matematika.

Penyelesaian model matematika 6 + x < 20 ditentukan sebagai berikut.

6 + x < 20

⇒ x < 20 – 6

⇒ x < 14

■ Memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh.

x < 14

Jadi, bilangan kedua besarnya tidak boleh melebihi bilangan 14.


Contoh Soal Pertidaksamaan Satu Variabel

Sekarang agar kalian lebih memahami dan terampil dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan model matematika berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel, silahkan kalian simak beberapa contoh soal cerita dan pembahasannya berikut ini.

Soal Cerita 1:

Jumlah dua bilangan tidak kurang dari 100 dan bilangan kedua sama dengan tiga kali bilangan pertama. Tentukan batas-batas nilai dari kedua bilangan itu.

Jawab:

Misalkan bilangan pertama x maka bilangan kedua sama dengan 3x.

Berdasarkan ketentuan yang ada dalam soal, diperoleh model matematika sebagai berikut.

x + 3x ≥ 100

⇒ 4x ≥ 100

Model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel itu diselesaikan sebagai berikut.

4x ≥ 100

⇒ x ≥ 25

Bilangan pertama (x) ≥ 25

Karena bilangan kedua sama dengan tiga kali bilangan pertama maka:

Bilangan kedua (3x) ≥ 75

Jadi, batas-batas nilai bilangan pertama tidak kurang dari 25 dan batas-batas nilai bilangan kedua tidak kurang dari 75.


Soal Cerita 2:

Panjang dan lebar persegi panjang ABCD masing-masing 30 cm dan 20 cm. Bagian tepi-tepi persegi panjang itu dipotong selebar x cm sehingga diperoleh persegi panjang PQRS. Perhatikan gambar di bawah ini. Keliling persegi panjang PQRS tidak lebih dari 52 cm. Tentukan batas-batas panjang pemotongan yang dilakukan.

10 Soal Cerita Pertidaksamaan Linear/Kuadrat Satu Variabel dan Pembahasannya

Jawab:

Perhatikan persegi panjang PQRS pada gambar di atas.

Panjang PQ = (30 – 2x) cm dan lebar QR = (20 – 2x) cm

Keliling persegi panjang PQRS adalah:

K = 2(PQ + QR)

⇒ K = 2[(30 – 2x) + (20 – 2x)]

⇒ K = 2(50 – 4x)

⇒ K = 100 – 8x

Berdasarkan ketentuan pada soal, keliling persegi panjang PQRS tidak lebih dari 52 cm. Dengan demikian diperoleh model matematika sebagai berikut.

K ≤ 52

⇒ 100 – 8x ≤ 52

Kemudian kita selesaikan model pertidaksamaan linier satu variabel tersebut, yaitu sebagai berikut.

100 – 8x ≤ 52

⇒ –8x ≤ 52 – 100

⇒ –8x ≤ –48

⇒ 8x ≥ 48

⇒ x ≥ 6

Selain itu, yang perlu kalian tahu bahwa ukuran suatu besaran (panjang atau lebar) tidak boleh bernilai negatif. Oleh karena itu, ada syarat tambahan bahwa panjang PQ = 30 – 2x ≥ 0 dan lebar QR = 20 – 2x ≥ 0. Lalu kita selesaikan dua pertidaksamaan linear tersebut.

30 – 2x

0



20 – 2x

0

2x

30



2x

20

x

15



x

10


Sampai tahap ini kita memperoleh tiga penyelesaian, yaitu sebagai berikut.

x ≥ 6

x ≤ 15

x ≤ 10

Gabungan dari tiga penyelesaian tersebut memberikan solusi 6 ≤ x ≤ 10.

Dengan demikian, batas-batas panjang pemotongan yang dapat dilakukan adalah 6 cm ≤ x cm ≤ 10 cm.


Soal Cerita 3:

Umur Lisa dan Muri masing-masing (5x – 2) dan (2x + 4). Jika umur Lisa lebih dari umur Muri, maka tentukanlah batas-batas nilai x.

Jawab:

Dari soal terdapat kata “lebih dari” yang berarti kita pergunakan tanda “>”. Dengan ketentuan yang terdapat dalam soal, maka kita peroleh model matematika berikut.

Umur Lisa > umur Muri

⇒ 5x – 2 > 2x + 4

Kemudian kita selesaian bentuk pertidaksamaan linear satu variabel di atas, yaitu sebagai berikut.

5x – 2 > 2x + 4

⇒ 5x – 2x > 4 + 2

⇒ 3x > 6

⇒ x > 2

Jadi, batas-batas nilai x adalah bilangan yang lebih dari 2.


Soal Cerita 4:

Pak Irvan memiliki sebuah mobil box pengangkut barang dengan daya angkut tidak lebih dari 500 kg. Berat pak Irvan adalah 60 kg dan dia akan mengangkut kotak barang yang setiap kotak beratnya 20 kg.

■ Tentukan banyak kotak maksimum yang dapat diangkut oleh pak Irvan dalam sekali pengangkutan!

■ Jika pak Irvan akan mengangkut 115 kota, paling sedikit berapa kali kotak itu akan terangkut semua?

Jawab:

Dari soal kita peroleh beberapa model matematika sebagai berikut:

(a) Misalnya x menyatakan banyak kota yang diangkut oleh mobil untuk sekali jalan.

(b) Setiap kotak beratnya 20 kg, sehingga x kotak beratnya 20x kg.

(c) Total berat sekali jalan adalah berat kotak ditambah berat pak Irvan yaitu 20x + 60.

(d) Daya angkut mobil tidak lebih dari, sehingga kita pergunakan tanda “≤”.

(e) Daya angkut tidak lebih dari 500 kg sehingga dari ketentuan (c) kita peroleh model pertidaksamaan berikut.

20x + 60 ≤ 500


■ Menentukan banyak kotak maksimum yang dapat diangkut dalam sekali jalan.

Menentukan banyak kotak berarti sama saja dengan menentukan nilai x, yaitu dengan menyelesaikan pertidaksamaan berikut.

20x + 60 ≤ 500

⇒ 20x ≤ 500 – 60

⇒ 20x ≤ 440

⇒ x ≤ 22

Dari penyelesaian tersebut, kita peroleh nilai maksimum dari x adalah 22. Dengan demikian, dalam setiap kali jalan mobil box mampu mengangkut paling banyak 22 kotak.


■ Menentukan banyaknya keberangkatan untuk mengangkut 115 kotak